578. Орлов А.И. Теория вероятностей и математическая статистика. Рабочая программа. - М.: Международный юридический институт  при Министерстве юстиции РФ, 2004. - 16 с.

МЕЖДУНАРОДНЫЙ ЮРИДИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ
ПРИ МИНИСТЕРСТВЕ ЮСТИЦИИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
__________________________________________________________

Экономико-правовой факультет

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

Рабочая программа

 
Курс 2 
Семестр 4

Лекции - 36 час.
Практические занятия - 36 час.
Самостоятельная работа - 52 час.
Всего часов - 124
Экзамен 

Рабочая программа составлена на основании Государственного образовательного стандарта высшего профессионального образования и рабочего учебного плана по специальности специальность 061100 -  "Менеджмент организации"

Разработчик - профессор, д.т.н.  А.И.Орлов

 Москва
2004

Цели и задачи курса

	Цель курса: изучение основ теории вероятностей и математической статистики с целью применения полученных знаний для вероятностного моделирования и анализа статистических данных, характеризующих экономические явления и процессы, при решении конкретных управленческих и экономических задач, прежде всего при изучении дальнейших управленческих и экономических дисциплин.
	Задачи изучения дисциплины - овладение основными знаниями и навыками в области вероятности и математической статистики.
	Основные знания, приобретаемые студентами при изучении дисциплины: базовые понятия современной теории вероятностей - вероятностное пространство, случайная величина как функция от элементарного события, ее распределение и характеристики (математическое ожидание, моменты); основные результаты теории вероятностей - законы больших чисел (в том числе в пространствах нечисловых данных), центральные предельные теоремы (в том числе многомерные).
	Основные умения, приобретаемые студентами при изучении дисциплины: решение задач на вычисление вероятностей, характеристик случайных величин (в том числе с нечисловыми значениями), на изучение асимптотического поведения функций от случайных величин.
 	Перечень дисциплин, усвоение которых студентами необходимо для изучения данной дисциплины: математический анализ; линейная алгебра; введение в экономическую теорию.
 
Программа курса "Теория вероятностей и математическая статистика"
		Количество часов	
№ п/п	Тема	Лекции	Практические занятия	Самостоятельная  работа	
1	События и вероятности	6	10	12	
2	Случайные величины и способы их описания	6	6	10	
3	Основные непрерывные и дискретные распределения	4	4	4	
4	Предельные теоремы теории вероятностей	4	4	4	
5	Цепи Маркова и их использование 
в моделировании социально-экономических процессов	4	4	6	
6	 Статистическое оценивание и проверка гипотез, статистические методы обработки экспериментальных данных	12	8	16	

Тема 1. События и вероятности
 
	Сущность и условия применимости теории вероятностей. Основные понятия теории вероятностей. Пространство элементарных событий. Алгебра событий. Вероятностное пространство. Вероятность элементарного события. Аксиомы А.Н. Колмогорова. Вероятность события. Теорема сложения. Условная вероятность. Независимые случайные события. Теорема умножения. Формула полной вероятности. Формула Байеса.

Тема 2. Случайные величины и способы их описания

	Случайная величина как функция от элементарного события, ее распределение и характеристики. Определение математического ожидания. Свойства математического ожидания. Математическое ожидание произведения независимых случайных величин. Определение дисперсии. Свойства дисперсии. Дисперсия суммы двух независимых случайных величин. Математическое ожидание и дисперсия суммы произвольного числа случайных величин. 
	Функция распределения и плотность, их свойства. Квантили функции  распределения. Выражения математического ожидания, дисперсии и других моментов случайной величины через плотность распределения вероятностей. Закон распределения вероятностей для функций от известных случайных величин. 

Тема 3. Основные непрерывные и дискретные распределения
  
	Модели законов распределения вероятностей, наиболее употребляемые в социально-экономических приложениях. Непрерывные функции распределения вероятностей, моделирующие реальные явления - равномерное, треугольное, экспоненциальное, нормальное (гауссовское), логарифмически нормальное, Вейбулла - Гнеденко, гамма-распределения. Их плотности. Масштабно-сдвиговые семейства. 
	Основные дискретные распределения: Бернулли, биномиальное, гипергеометрическое, Пуассона, геометрическое. Смеси непрерывных и дискретных распределений. Математические ожидания, дисперсии и другие характеристики основных непрерывных и дискретных распределений.
	Функции распределения, используемые при статистическом анализе данных: хи-квадрат, Стьюдента, Фишера. 

Тема 4. Предельные теоремы теории вероятностей

	Неравенство Маркова. Неравенство Чебышева. Теорема Чебышева и теорема Бернулли. Закон больших чисел и его следствие. Фундаментальная  роль закона больших в теории вероятностей и математической статистике.
	Особая роль нормального распределения: центральная предельная теорема для нормированных сумм независимых одинаково распределенных случайных величин. Теорема Муавра-Лапласа. Стандартное нормальное распределение. Масштабно-сдвиговое семейство нормальных распределений. Его свойства. Центральная предельная теорема для разнораспределенных слагаемых. Логарифмически нормальное распределение и предельное распределение произведения независимых случайных величин.

Тема 5. Цепи Маркова и их использование 
в моделировании социально-экономических процессов

	Понятие случайного процесса. Марковское свойство (условие отсутствия последействия). Марковские процессы и цепи Маркова. Переходные вероятности. Возвратные и невозвратные состтяния. Стационарное распределение. Эргодические свойства однородных марковских цепей. Случайные блуждания. Ветвящиеся процессы. Задача о наилучшем выборе. Системы массового обслуживания. Моделирование социально-экономических процессов, в частности, процессов в малом бизнесе, с помощью цепей Маркова.

Тема 6. Статистическое оценивание и проверка гипотез, 
статистические методы обработки экспериментальных данных

	Основные методы описания статистических данных. Выборочные характеристики и их теоретические аналоги. Эмпирическая функция распределения и ее свойства. Теоремы Гливенко и Колмогорова. Распределение критерия Колмогорова. Построение доверительной полосы для функции распределения с помощью процентных точек критерия Колмогорова. Непараметрические оценки плотности.
	Понятие выборки. Близость гипергеометрической и биномиальной моделей выборки. Моделирование случайной выборки последовательностью независимых одинаково распределенных случайных величин.
	Точечное оценивание характеристик и параметров. Понятие о статистическом оценивании. Состоятельные и несмещенные  оценки. Несмещенная оценка дисперсии. Эффективность оценок. Оценивание с помощью доверительных интервалов. Доверительная вероятность и доверительный  интервал. 
	Основные понятия теории статистической проверки гипотез. Нулевая и альтернативная гипотезы. Критическая область. Статистика критерия. Критические значения. Ошибки первого и второго рода. Уровень значимости и мощность критерия. Лемма Неймана-Пирсона. Примеры процедур проверки статистических гипотез при решении управленческих и экономических задач.

Контрольные вопросы и задания

	1. Сформулируйте и докажите основные теоремы элементарной теории вероятностей: теорему сложения, теорему умножения, формулу полной вероятности, формулу Байеса.
	2. Дайте определение математического ожидания как суммы  повсем  элементам вероятностного пространства и сформулируйте основные свойства математического ожидания. Чему равно математическое ожидание произведения независимых случайных величин?
	3. Дайте определение дисперсии и опишите ее свойства.  Чему равна дисперсия суммы двух независимых случайных величин?
	4. Сформулируйте неравенство Маркова и неравенство Чебышева и докажите законы больших числе: теорему Чебышева и теорему Бернулли.  Опишите роль законов больших  чисел  в  теоретической  и практической статистике.
	5. Что Вам известно о масштабно-сдвиговых семействах непрерывных распределений, моделирующих экономические явления - нормальном, равномерном, треугольном, экспоненциальном,  Вейбулла-Гнеденко, гамма-распределении?
	6. Что Вам известно об основных дискретных  распределениях, моделирующих экономические явления - Бернулли, биномиальном, гипергеометрическом, Пуассона, геометрическом?
	7. Расскажите об эмпирической функции распределения и основных теоремах математической статистики:  Гливенко и Колмогорова, об их роли в теоретической и практической статистике, а также о распределении критерия Колмогорова и построении  доверительной полосы для функции распределения с помощью процентных точек критерия Колмогорова.
	8. Сформулируйте центральную предельную теорему (в том числе для разнораспределенных слагаемых) и теорему Муавра-Лапласа, обсудите их роль в теоретической и практической статистике.

ВОПРОСЫ для подготовки к ЭКЗАМЕНУ по курсу
 “Теория вероятностей и математическая Статистика”

	1. Случайное событие. Вероятностное пространство. Теоремы сложения и умножения.
	2. Условная вероятность и независимые события.
	3. Формула полной вероятности и формула Байеса.
	4. Случайные величины и их характеристики. 
	5. Функции распределения вероятностей, моделирующие реальные явления - нормальные, логарифмические нормальные, экспоненциальные, биномиальные, Пуассона, гипергеометрические.
	6. Функции распределения, используемые при статистическом анализе данных: хи-квадрат, Стьюдента, Фишера.
	7. Изменение функции распределения и плотности в соответствии с параметрами масштаба и сдвига.
	8. Масштабно-сдвиговое семейство нормальных распределений. 
	9. Масштабно-сдвиговое семейство гамма-распределений.
 	10. Статистические характеристики и их теоретические аналоги.  
	11. Выборочное среднее арифметическое, математическое ожидание и закон больших чисел.
	12. Центральная предельная теорема.
	13. Выборочные и теоретические дисперсия, среднее квадратическое отклонение, стандартная ошибка среднего, асимметрия, эксцесс.
	14. Вариационный ряд и эмпирическая функция распределения.
	15. Выборочные и теоретические медиана, минимум, максимум, размах, квантили, верхний и нижний квартили, межквартильное расстояние.
 	16. Понятие о статистическом оценивании. Состоятельные и несмещенные оценки. Несмещенная оценка дисперсии.
	17. Доверительные интервалы и доверительное оценивание.   
	18. Понятие о проверке статистических гипотез. Задача о леди, пробующей чай.  
	19. Основные понятия теории статистической проверки гипотез. Критическая область.  Статистика критерия. Ошибки первого и второго рода. Уровень значимости и мощность.
	20. Состоятельность, несмещенность и  эффективность  оценок.
 	21. Непараметрическое оценивание функции распределения.  
	22. Непараметрическое оценивание плотности.  

Контрольная работа №1

Вариант 1.

Задача 1.
Имеются три одинаковые с виду урны. В первой а белых шаров и b черных; во второй c белых и d черных; в третьей только белые шары. Некто подходит наугад к одной из урн и вынимает из нее один шар. Найти вероятность того, что этот шар белый.

Задача 2.
Пассажир может воспользоваться трамваями двух маршрутов, следующих с интервалами Т1,Т2. Пассажир может прийти на остановку в некоторый произвольный момент времени. Момент прихода пассажира на остановку определяется числами u (u лежит в [0,Т1]) и v (v лежит в [0,T2]), которые равны временам оставшимся до прихода трамвая соответствующего маршрута. Найти вероятность того, что пассажир, пришедший на остановку, будет ждать не дольше t (0<t<min(T1,T2)).

Задача 3.
Два стрелка, независимо один от другого, делают по два выстрела (каждый по своей мишени). Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для первого стрелка p1,для второго p2.Выигравшим соревнование считается тот стрелок в мишени которого будет больше пробоин. Найти вероятность того, что выиграет первый стрелок.

Задача 4.
Пассажир может обратиться за получением билета в одну из трех касс. Вероятности обращения в каждую кассу зависят от их местоположения и равны соответственно p1,p2,p3.Вероятность того, что к приходу пассажира имеющиеся в кассе билеты будут распроданы, равна для первой кассы P1,для второй -- P2,для третьей -- P3.Пассажир отправился за билетом в одну из касс и приобрел билет. Найти вероятность того, что это была первая касса.

Задача 5.
Полная колода карт(52 листа) делится наугад на две равные пачки по 26 листов. Найти вероятности следующих событий:
	A = в каждой из пачек окажется по два туза
	B = в одной из пачек не будет ни одного туза, а в другой все четыре
C = в одной из пачек будет один туз, а в другой три

Вариант 2.

Задача 1.
Прибор может работать в двух режимах: нормальном и ненормальном. Нормальный режим наблюдается в 80% случаев работы прибора; ненормальный - в 20%.Вероятность выхода прибора из строя за время t в нормальном режиме равна 0,1;в ненормальном --0,7.Найти вероятность выхода прибора из строя за время t.

Задача 2.
Два парохода должны подойти к одному и тому же причалу. Времена приходов обоих пароходов независимы и равновозможны в течении данных суток. Определить вероятность того, что одному из пароходов придется ожидать освобождения причала, если время стоянки первого парохода один час, а второго - два часа.

Задача 3.
Ведется стрельба по самолету, уязвимыми агрегатами которого являются два двигателя и кабина пилота. Для того чтобы поразить (вывести из строя) самолет, достаточно поразить оба двигателя вместе или кабину пилота. При данных условиях стрельбы вероятность поражения первого двигателя равна p1,второго двигателя p2,кабины пилота p3.Агрегаты самолета поражаются независимо друг от друга. Найти вероятность того, что самолет будет поражен.

Задача 4.
Предположим, что 5% всех мужчин и 0,25% всех женщин дальтоники. Наугад выбранное лицо страдает дальтонизмом. Какова вероятность того, что это мужчина?(Считать, что мужчин и женщин одинаковое число)

Задача 5.
В урне а белых и b черных шаров (a не меньше 2).Из урны вынимают сразу два шара. Найти вероятность того, что оба шара будут белыми.

Вариант 3.

Задача 1.
Группа самолетов в составе: один ведущий и два ведомых, направляется на бомбометание по объекту. Каждый из них несет по одной бомбе. Ведущий самолет имеет прицел, ведомые не имеют и производят бомбометание по сигналу ведущего.По пути к объекту группа проходит зону противовоздушной обороны, в которой каждый из самолетов, независимо от других, сбивается с вероятностью p. Если к цели подойдет ведущий самолет с обоими ведомыми, они поразят объект с вероятностью P1,2.Ведущий самолет, сопровождаемый одним ведомым, поразит объект с вероятностью P1,1. Один ведущий самолет, без ведомых, поразит объект с вероятностью P1,0. Если ведущий самолет сбит, о каждый из ведомых, если он сохранился, выходит к объекту и поражает его с вероятностью P0,1.Найти вероятность поражения объекта.

Задача 2.
На отрезке длины l наудачу ставятся две точки, в результате чего отрезок оказывается разделенным на три части. Найти вероятность того, что из получившихся трех частей отрезка можно построить треугольник.

Задача 3.
В ящике лежат 12 красных,8 зеленых и 10 синих шаров.(шары имеют номера).Наудачу вынимают два шара. Какова вероятность того, что вынутые шары разного цвета, если известно, что не вынут синий шар?

Задача 4.
Из урны, в которой было m>3 белых шаров и n черных, потеряли один шар неизвестного цвета. Для того чтобы определить состав шаров в урне, из нее наудачу были вынуты два шара. Найти вероятность того, что потерян белый шар, если вынутые шары оказались белыми.

Задача 5.
В урне a белых и b черных шаров (a>2, b>3).Из урны вынимают сразу пять шаров. Найти вероятность р того, что два из них будут белыми, а три черными.

Вариант 4.

Задача 1.
Радиолокационная станция ведет наблюдение за объектом, который может применять и не применять помехи. Если объект не применяет помех, то за один цикл обзора станция обнаруживает его с вероятностью p0;если применяет -- с вероятностью p1<p0. Вероятность того, что во время цикла будут применены помехи, равна р и не зависит от того ,как и когда применялись помехи в остальных циклах. Найти вероятность того, что: 
	а) объект будет обнаружен за один цикл;
	б) объект будет обнаружен хотя бы один раз за n циклов 
(в п.б) использовать вероятность, найденную в п.а) и то, что циклы независимы)/

Задача 2.
Какова вероятность того, что сумма двух наугад взятых положительных чисел, каждое из которых не больше единицы, не превзойдет единицы, а их произведение будет не больше 2/9.

Задача 3.
Завод изготовляет определенного типа изделия; каждое из изделий имеет дефект с вероятностью p. Изделие осматривается одним контролером; он обнаруживает имеющийся дефект с вероятностью p1, а если дефект не обнаружен, пропускает изделие в готовую продукцию. Кроме того контролер может по ошибке забраковать изделие, не имеющее дефекта; вероятность этого равна a. Найти вероятности следующих событий:
	A = изделие будет забраковано;
	В = изделие будет забраковано, но ошибочно;
	C = изделие будет пропущено в готовую продукцию с дефектом.

Задача 4.
На вход радиолокационного устройства с вероятностью p поступает смесь полезного сигнала с помехой, а с вероятностью(1-p) -- только одна помеха. Если поступает полезный сигнал с помехой, то устройство регистрирует наличие какого-то сигнала с вероятностью p1; если только помеха - с вероятностью p2. Известно, что устройство зарегистрировало наличие какого-то сигнала. Найти вероятность того, что в его составе имеется полезный сигнал.

Задача 5.
Среди 25 экзаменационных билетов 5 "хороших".Два студента по очереди берут по одному билету. Найти вероятность следующих событий: 
	А = первый студент взял хороший билет,  
	B = второй студент взял хороший билет, 
	C = оба студента взяли хорошие билеты.

Вариант 5.

Задача 1.
Группа, состоящая из трех самолетов-разведчиков, высылается в район противника с целью уточнить координаты объекта, который предполагается подвергнуть обстрелу ракетами. Для поражения объекта выделено n ракет. При уточненных координатах объекта вероятность его поражения одной ракетой равна p1, при неуточненных -p2.Каждый разведчик перед выходом в район объекта может быть сбит противовоздушными средствами противника; вероятность этого р3.Если разведчик не сбит, он сообщает координаты объекта по радио. Радиоаппаратура разведчика имеет надежность р4. Для уточнения координат достаточно приема сообщения от одного разведчика. Найти вероятность поражения объекта с учетом деятельности разведки.

Задача 2.
В квадрат с вершинами (0;0), (0;1), (1;0), (1;1) наудачу брошена точка М. Пусть (а,b) ее координаты. Найти вероятность того, что корни уравнения x2+a*x+b=0 -- действительные.

Задача 3.
Из полной колоды карт (52 листа) вынимается одна карта. Рассматриваются события:
	А = появление туза,
	В =  появление карты красной масти,
	C = появление бубнового туза;
	D = появление десятки.
Проверить на независимость следующие пары событий:
1) A и В; 2)A и С; 3) B и С; 4)B и D; 5) C и D.

Задача 4.
Два стрелка независимо один от другого стреляют по одной мишени, делая каждый по одному выстрелу. Вероятность попадания в мишень для первого стрелка 0,8,для второго -- 0,4.После стрельбы в мишени обнаружена одна пробоина. Найти вероятность того, что в мишень попал первый стрелок.

Задача 5.
Найти вероятность того, что дни рождения 12 человек придутся на разные месяцы года.

Вариант 6.

Задача 1.
Имеются две урны: в первой а белых шаров и b черных; во второй с белых и d черных. Из первой урны во вторую перекладывают, не глядя, один шар. После этого из второй урны берут один шар. Найти вероятность того, что этот шар будет белым.
Задача 2.
Точка L брошена наудачу внутрь круга радиуса R(см.рис.).На рисунке также задана прямая A. Найти вероятности следующих событий H1 и H2:
	H1 = точка L находится от центра круга на расстоянии меньшем r (r<R), 	H2 = меньший из углов, образованных прямой А и прямой, проходящей через начало координат и точку L, не превосходит a.

Задача 3.
Из полной колоды карт(52 листа) вынимаются подряд четыре карты. Найти вероятность того, что все четыре карты будут разной масти. Найти вероятность этого же события в случае, когда каждая карта после вынимания возвращается в колоду.

Задача 4.
Прибор состоит из двух узлов: работа каждого узла необходима для работы прибора в целом. Надежность (вероятность безотказной работы в течение времени t) первого узла равна p1,второго --p2. Прибор испытывался в течение времени t, в результате чего обнаружено, что он вышел из строя (отказал). Найти вероятность того, что отказал только первый узел, а второй исправен.

Задача 5.
А и В и еще 8 человек стоят в очереди. Определить вероятность того, что А и В отделены друг от друга 3 лицами.

Вариант 7.

Задача 1.
Имеется две партии однородных изделий; первая партия состоит из N изделий, среди которых n дефектных; вторая партия состоит из M изделий, среди которых m дефектных. Из первой партии берется случайным образом K изделий, а из второй L изделий (K<N;L<M); эти K+L изделий смешиваются, и образуется новая партия. Из новой смешанной партии берется наугад одно изделие. Найти вероятность того, что это изделие будет дефектным.

Задача 2.
На плоскости проведены параллельные линии, расстояния между которыми равны 1,5 и 8 см.Определить вероятность того, что наудачу брошенный на эту плоскость круг радиуса 2,5 см. не будет пересечен ни одной линией.

Задача 3.
В партии, состоящей из N изделий, имеется M дефектных. Из партии выбирается для контроля n изделий. Если среди контрольных окажется более m дефектных бракуется вся партия. Найти вероятность того, что партия будет забракована.

Задача 4.
В группе из 10 студентов, пришедших на экзамен,3 подготовленных отлично,4 -- хорошо,2 --посредственно и 1 -- плохо. В экзаменационных билетах имеется 20 вопросов. Отлично подготовленный студент может ответить на все 20 вопросов, хорошо подготовленный -- на 16,посредственно -- на 10, плохо -- на 5. Вызванный наугад студент ответил на три произвольно заданных вопроса. Найти вероятность, что этот студент подготовлен
	а) отлично ; 
	b) плохо.

Задача 5.
Из пяти карточек с буквами А, Б, В, Г, Д наугад одна за другой выбираются три и располагаются в ряд в порядке появления. Какова вероятность, что получится слово ДВА.

Вариант 8.

Задача 1.
Группа студентов состоит из a отличников, b хорошо успевающих и c занимающихся слабо. Отличники на предстоящем экзамене могут получить только отличные оценки. Хорошо успевающие студенты могут получить с равной вероятностью хорошие и отличные оценки. Слабо занимающиеся могут получить с равной вероятностью хорошие, удовлетворительные и неудовлетворительные оценки. Для сдачи экзамена вызывается наугад один студент. Найти вероятность того, что он получит хорошую или отличную оценку.

Задача 2.
Шар x2+y2+z2=32 помещен внутри эллипсоида x2/52+y2/42+z2/32=1. Найти вероятность того, что поставленная наудачу внутри эллипсоида точка окажется внутри шара.

Задача 3.
В урне а белых и b черных шаров. Из урны вынимаются 2k шаров (2k<a; 2k<b).Найти вероятность того, что среди них будет больше белых, чем черных.

Задача 4.
У рыбака имеется три излюбленных места для ловли рыбы, которые он посещает с равной вероятностью каждое. Если он закидывает удочку на первом месте, рыба клюет с вероятностью p1, на втором месте -- с вероятностью p2, на третьем месте -- с вероятностью p3. Известно, что рыбак, выйдя на ловлю рыбы, три раза закинул удочку, и рыба клюнула только один раз. Найти вероятность того, что он удил рыбу на первом месте.

Задача 5.
В лифт семиэтажного дома на первом этаже вошли три человека. Каждый из них с одинаковой вероятностью выходит на любом из этажей, начиная со второго. Найти вероятности следующих событий:
	А = все пассажиры выйдут на 4 этаже,
	В = все пассажиры выйдут одновременно(на одном и том же этаже,
	C = все пассажиры выйдут на разных этажах.

Контрольная работа №2

Вариант 1.
1. Устройство состоит из трех независимо работающих элементов. Вероятность отказа каждого элемента в одном опыте равна 0,1. Случайная величина Х - число отказавших элементов в одном опыте. Построить распределение и функцию распределения F(x) случайной величины Х.
2. Случайная величина Х распределена по нормальному закону с плотностью вероятности
fx(x)=(1/(s(2π)1/2)exp{-x2/(2s2)}.
Найти плотность распределения fj(y) случайной величины j=1/X. Разрыв какого рода имеет fj(y) в нуле?
 
Вариант 2.
1. В партии 10% нестандартных деталей. Наудачу отобраны 4 детали. Случайная величина Х - число нестандартных деталей среди 4 отобранных. Построить распределение и функцию распределения F(x) случайной величины Х.
2. Случайная величина X имеет показательное распределение с плотностью вероятности
fx(x)=exp(-x),	x>0.
Найти функцию распределения и плотность вероятности случайной величины j=exp(-X).

Вариант 3.
1. Испытание состоит в том, что две игральные кости бросают одновременно. Испытание проводят два раза. Случайная величина Х - число испытаний, в которых на обеих игральных костях выпало четное числа очков. Построить распределение и функцию распределения F(x) случайной величины Х.
2. Случайная величина X распределена равномерно в интервале(-π/2, π/2). Найти плотность распределения случайной величины j = sin X.

Вариант 4.
1. Случайная величина Х - число появлений герба при 2 бросаниях монеты. Построить распределение и функцию распределения F(x) случайной величины Х.
2. Случайная величина X распределена равномерно на отрезке [-1;2].Найти плотность распределения случайной величины j = X2.

Вариант 5.
1. После ответа студента на вопросы экзаменационного билета экзаменатор задает студенту дополнительные вопросы. Преподаватель прекращает задавать дополнительные вопросы, как только студент обнаруживает незнание ответа на заданный вопрос. Вероятность того, что студент ответит на заданный дополнительный вопрос, равна 0,9. Ответы на различные вопросы независимы в смысле теории вероятностей. Требуется:
а) Построить распределение и функцию распределения F(x) дискретной случайной величины Х - числа дополнительных вопросов, которые задаст преподаватель студенту.
б) Найти наивероятнейшее число k0 заданных студенту дополнительных вопросов.
2. Случайная величина X распределена по закону Коши:
fX(x)=С/(π(1+x2)),  -4<x<+4.
Найти плотность распределения случайной величины Y=X3+2.

Вариант 6.
1. Вероятность того, что стрелок попадет в мишень при одном выстреле, равна 0,8. Стрелку выдаются патроны до тех пор, пока он не промахнется. Требуется:
а). Построить распределение и функцию распределения F(x) дискретной случайной величины Х - числа патронов, выданных стрелку.
б). Найти наивероятнейшее число выданных стрелку патронов.
2. Случайная величина X распределена нормально N(0,1), т.е. имеет стандартное нормальное распределение с математическим ожиданием 0 и дисперсией 1. Найти плотность распределения случайной величины Y=(1/2)X2.
 
Вариант 7. 
1. Бросают три монеты. Случайная величина Х - число выпавших "решек". Построить распределение и функцию распределения F(x) случайной величины Х, если вероятность выпадения герба 0,5.
2. Случайная величина X распределена нормально N(0,s2), т.е. имеет нормальное распределение с математическим ожиданием 0 и дисперсией s2. Найти плотность распределения с.в. Y=(1/4)X2.
 
Вариант 8.
1. Из партии в 25 изделий, среди которых имеются 6 бракованных, выбраны случайным образом 3 изделия для проверки их качества. Построить распределение и функцию распределения F(x) случайного числа Х бракованных изделий, содержащихся в выборке.
2. Случайная величина X задана плотностью распределения f(x)=(1/2) sin x  в интервале (0; π); вне этого интервала f(x)=0. Найти плотность распределения случайной величины Y=X2.

Лабораторная работа 
по курсу «Теория вероятностей и математическая статистика»
	1. Рассчитать вероятности различных видов выигрышей в лотерее «Спортлото» (6 выигрышных номеров из 49). Какова вероятность совпадения 6 заданных номеров с выигрышными, 5 номеров, четырех, трех? Каковы ожидаемые размеры выигрышей, если каждой из четырех перечисленных в предыдущей фразе возможностей соответствует 1/8 доходов от продажи билетов?
	2. Спроектируйте наиболее приемлемую для игроков (на Ваш взгляд) лотерею и рассчитайте ее характеристики.

Литература

	1. Вероятность и математическая статистика. Энциклопедия / Гл. ред. Ю. В. Прохоров. – М.: Изд-во «Большая Российская Энциклопедия», 1999. – 910 с.
	2. Гнеденко Б.В.  Курс теории вероятностей.  - М, 1986.
	3. Колмогоров А.Н. Теория вероятностей и математическая статистика. Сб.трудов. 1987.
	4. Феллер В.  Введение в теорию вероятностей и ее приложения М. Т.1. - 1984.
	5. Орлов А.И. Эконометрика. Учебник для вузов. Изд. 2-е, исправленное и дополненное. - М.: Изд-во "Экзамен", 2003. – 576 с.
	6. Иванова Н.Ю., Орлов А.И. Экономико-математическое моделирование малого бизнеса (обзор подходов). - Журнал "Экономика и математические методы". 2001. Т.37. №2. С.128-136.
	7. Орлов А.И., Миронова И.Ю. Математические модели в экономике. Вероятностное моделирование неопределенностей в экономике. Основные понятия. - М.: Изд-во Московского государственного института электроники и математики (технического ун-та), 1994. – 28 с.
	8. Орлов А.И. Математика случая. Вероятность и статистика - основные факты. - М.: МЗ-Пресс, 2004. - 136 с.